איך מתארים התפשטות מגפות באמצעות מודל מתמטי?

איך מתארים התפשטות מגפות באמצעות מודל מתמטי?

המודל המתמטי הראשון לתיאור התפשטות מגפות פותח במאה ה 18 ע״י ברנולי. פיתוח המודלים נמשך לאורך הדורות במקביל להתפתחות ההבנה באפדימיולוגיה. התחום עבר קפיצת מדרגה עם פרסום מודל להתפשטות מחלות מדבקות ע״י מקנדריק וקרמק ב 1927. תורת מקנדריק-קרמק היא הבסיס למודלים הבסיסיים המשמשים היום לתיאור התפשטות הקורונה. מודלים אלו עושים הבחנה בין מספר קבוצות אוכלוסייה: המועדים (Susceptibles), הנשאים (Infected) והמחוסנים (לפי הטרמינולוגיה המקובלת Recovered).

קבוצת המועדים (Susceptibles) היא קבוצת האוכלוסייה שטרם נדבקה בנגיף ובעלת פוטנציאל להידבק. הקבוצה השנייה היא קבוצת הנשאים (Infected) שכבר נדבקו בנגיף ועלולים להדביק אחרים, והקבוצה השלישית היא קבוצת המחוסנים (Recovered). קבוצה זו כוללת מחלימים שפיתחו נוגדנים לנגיף או כאלו שחוסנו. במהלך המגיפה יש מעבר בין הקבוצות, לדוגמה אנשים מקבוצת המועדים יכולים להידבק בנגיף ולעבור לקבוצת הנשאים, או נשאים יכולים להחלים ולעבור לקבוצת המחוסנים.

המודל מנטר את גודל הקבוצות השונות וליתר דיוק את הגודל היחסי של הקבוצה באוכלוסייה. מכיוון שיש מעבר אוכלוסייה בין הקבוצות, הגדלים המנוטרים תלויים בזמן. בניסוח מתמטי, אנחנו מתמקדים בשלושה משתנים (S(t),I(t),R(t עבור גדלי קבוצת המועדים (Susceptibles), הנשאים (Infected) והמחוסנים (Recovered) בהתאמה. שלושת המשתנים נותנים למודל את שמו – מודל SIR.

נתמקד עתה בדינמיקת המעבר בין האוכלוסיות השונות. אדם שטרם נדבק בנגיף ואינו מחוסן יכול להידבק, כלומר לעבור מקבוצת המועדים (S) לקבוצת הנשאים (I). כמה אנשים נדבקים ביום? נסמן ב β את מספר האנשים הממוצע שנשא מדביק ביום כאשר הוא נמצא באוכלוסייה שמורכבת ממועדים בלבד. אם ביום מסוים, החלק היחסי של המועדים באוכלוסייה הוא (S(t, אז כל נשא ידביק באותו יום בממוצע (βS(t אנשים. מכיוון שהחלק היחסי של הנשאים באוכלוסייה הוא (I(t, סה״כ החלק היחסי באוכלוסייה שנדבק ביום, או מעבר האוכלוסייה מקבוצת המועדים, הוא (βS(t)I(t. אם נזניח כרגע שינויים בגודל אוכלוסייה כתוצאה מילודה, תמותה או הגירה, נוכל לנסח משוואה לשינוי בגודל אוכלוסיית המועדים, (S(t)=βS(t)I(t

S(t)I(t – = (S(t
קצב ההידבקות שינוי גודל אוכלוסיית המועדים

קצב השינוי באוכלוסיית המחוסנים מושפע מקצב ההחלמה. ההנחה היא שהמחלה נמשכת בממוצע d ימים, ולכן ניתן להניח שבכל יום מבריאים I(t)/d חולים. בהנחה שאין חיסון, כלומר ניתן לפתח נוגדים רק לאחר הידבקות והחלמה ובהזנחת שינויים אחרים באוכלוסייה, המשוואה לשינוי בגודל אוכלוסיית המחוסנים הוא

I(t)/d = (R(t
קצב ההחלמה שינוי גודל אוכלוסיית המחוסנים

לבסוף, השינוי באוכלוסיית הנשאים שווה להפרש בין קצב ההידבקות לקצב ההחלמה

I(t)/d S(t)I(t = (I(t
קצב ההחלמה קצב ההידבקות שינוי גודל אוכלוסיית הנשאים

שלושת המשוואות הנ״ל הן מערכת המשוואות של מודל SIR.

ניתוח ראשוני של המודל — שיווי משקל ומקדם ההדבקה

מערכת המשוואות של מודל SIR היא דוגמה למערכת משוואות דיפרנציאליות רגילות. במרבית המקרים, לא ניתן למצוא פתרון מפורש למערכות כאלו ולכן משתמשים בטכניקות ניתוח שונות ששופכות אור על התנהגות המערכת מבלי לפתור אותה. הצעד הראשון בניתוח מודל כמו SIR הוא לבחון מה הם מצבי שיווי המשקל של המערכת, כלומר המצבים בהם המערכת מגיעה למצב סטטי בו אין שינוי בגדלי המשתנים. במקרה של SIR, שיווי המשקל מתקיים רק כאשר אין נשאים, I=0. לדוגמה, כאשר המגפה הסתיימה או טרם התחילה. התוצאה הזו נובעת מכך שהמודל כולל רק תנועה חד-כיוונית מקבוצת המועדים לקבוצת המחוסנים באוכלוסייה סגורה. ניתן לצפות שמודל אשר יכלול תהליכי לידה, הגירה, או חיסוניות חלקית בלבד אחרי החלמה יתאר מצבי שיווי משקל נוספים שמתארים מצב של מגפה מתמשכת ברמה כזו או אחרת.

נסתכל על שיווי המשקל שמתקיים טרם המגפה בו כל האוכלוסייה מועדת (S=1,I=0,R=0). נניח כעת שבזמן כלשהו בודדים נדבקו במגפה, כלומר I>0 אבל קטן מאוד. במקרה זה, המשוואה לגודל קבוצת הנשאים היא מהצורה:

(I(t)=(β1/d)I(t

כאשר βd>1 השינוי במספר הנדבקים חיובי, אותם בודדים מדביקים אחרים והמגפה מתחילה להתפשט. נזכור ש β הוא מספר האנשים שנשא מדביק, בממוצע, ביום ו d הוא מספר הימים הממוצע עד שנשא מחלים ומפסיק להיות מדבק. לכן βd הוא מספר האנשים הממוצע שנשא מדביק לאורך תקופת המחלה ועד להחלמה. זהו מקדם ההדבקה המפורסם והוא מסומן ב R0.

בפעם הבאה אעסוק בדינמיקה של המגפה ואערוך השוואה ראשונה בין המודל לנתונים בארץ ובחו״ל.

כאן זה המקום עבורכם להגיב ולשאול שאלות