שלב ההתפרצות הראשון

זהו החלק השני בבלוג בו אתאר מודלים מתמטיים להתפשטות מגפות ואבחן אותם מול נתונים מהארץ והעולם. אם קפצתם ישירות לפה, אני ממליץ להתחיל מהחלק הראשון. כאן המקום לסייג – איני אפדימיולוג ואני לא עוסק במתמטיקה אפדימיולוגית. כל פרשנות לנתונים או ציטוט שלהם על אחריות הקורא בלבד.

בחלק הראשון הצגתי את פיתוח מודל SIR – מודל המחלק את האוכלוסייה לשלוש קבוצות: קבוצת המועדים (Susceptibles), הנשאים (Infected) והמחוסנים ,(Recovered) ומגדיר את האופן והקצב שבו אנשים עוברים מקבוצה לקבוצה, לדוגמא ע״י הידבקות או החלמה. לאחר מכן הצגתי ניתוח ראשוני של המודל והראיתי שמגפה יכולה להתפשט רק כאשר מקדם ההדבקה או מספר האנשים שנשא מדביק בממוצע טרם החלמתו גדול מאחד. בפרמטרים של המודל, התנאי מתרגם ל \(R_{0}=\beta d>1\) . הניתוח הנ״ל התמקד במצבי שיווי המשקל של המערכת ובחן את היציבות שלהם, כלומר את התנהגות המערכת כאשר היא מוסטת קלות משיווי המשקל. כעת אתמקד בשלב הראשון של המחלה – כאשר המערכת מוסטת משיווי המשקל והמגפה מתחילה להתפרץ.

שלב ההתפרצות הראשון

בהתחלה, טרם התפרצות המגפה, כל האוכלוסייה למעט בודדים היא מועדת. נניח שיש עשרה נשאים מתוך אוכלוסייה של של 9 מליון, \(S(t)\) מציינת את הגודל היחסי באוכלוסייה ולכן שווה כמעט לאחד,

$$S(t)=1-\frac{10}{9,000,000}\approx0.999998 $$

גם כאשר יש 10,000 חולים, הגודל היחסי של קבוצת המועדים הוא קרוב מאוד לאחד, \(S(t)\approx0.998\). לכן, בשלב הראשון וכל עוד מספר החולים קטן מאוד ביחס לגודל האוכלוסייה, אפשר להשתמש בקירוב \(S(t)\approx1\) כדי לחקור את המערכת. המשוואה המתקבלת ל \(I(t)\) היא $$ I^{\prime}(t)=(\beta-1/d)I(t) $$ בזכות הקירוב קיבלנו משוואה פשוטה יותר שניתן לפתור באופן מפורש. הפתרון של המשוואה הוא אקספוננט \( I(t)=I(0)e^{(\beta-1/d)t} \). המודל מתאר אם כן גידול אקספוננציאלי בשלבים הראשונים של המחלה.

אתייחס כעת לנתונים של כמות החולים המאומתים במספר ארצות. לשם נוחות הגרפים מציגים את הגודל המספרי של קבוצת הנשאים, כלומר את \(N\cdot I(t)\) כאשר \(N\) מייצג את גודל האוכלוסייה.  האיקסים הכחולים הם נתוני כמות חולים אשר נלקחו מהאתר www.worldmeters.info, ואילו העקומה האדומה בכל גרף היא האקספוננט המתאים ביותר לנתונים בשבועות הראשונים.

Graphs of number of infected people in Corona as a function of time in various countries

בכל ארבעת הגרפים השלב ההתחלתי אכן מתואר היטב ע״י גידול אקספוננציאלי. הנתונים העולמיים מצביעים על זמן החלמה ממוצע של שבועיים ובהתאם אבחר \(d=14\). כעת ניתן לחלץ את \(\beta\) ממעריך האקספוננט המתאים ביותר לנתונים. הערכים המתקבלים נעים בטווח של 0.28-0.32 בארצות האלו, כאשר יש ארצות עם \(\beta\) נמוך יותר (איטליה, לדוגמא, עם \(\beta\approx0.25\)). בתקשורת נוטים להציג את ערך המעריך בעקיפין דרך מספר הימים בהם מספר החולים מכפיל את עצמו. במקרים המוצגים קבוצת החולים מכפילה את גודלה כל 2.82-3.27 ימים.

ההתאמה בין ההתנהגות האקספוננציאלית שהמודל מתאר בשלב הראשון ובין הנתונים מחזקת את תקפות המודל לה ומעודדת המשך חקירה של המודל. בשלב זה עולות שאלות רבות. אחת מהן היא מה מקור סטיית נתוני הימים האחרונים בישראל, גרמניה וספרד מהתנהגות אקספוננציאלית? האם זה מסמן את תחילת הסוף כמו בדרום קוריאה? (ועוד סימן שאלה אם בדרום קוריאה אכן המגפה בדרך לסיום); אולי זו אינדיקציה ליעילות הצעדים שננקטים לבלימת המגפה? ואולי הסיבה נעוצה בכך שמערך הבדיקות לא התרחב בהתאם לקצב האקספוננציאלי של המחלה.

בחלק הבא אתמקד במהלך המגפה המלא כפי שמתאר המודל ואנסה לשפוך אור על חלק מהשאלות.

נ.ב.

ייתכן שזזתם בחוסר נוחות כאשר השתמשתי בקירוב כדי לתאר את התנהגות המערכת.  שימוש בקירובים היא טכניקה מאוד יעילה להבין את התנהגות של מערכת או למצוא פתרון מקורב אליה. עם זאת, ישנם קירובים שמשנים באופן מהותי את התנהגות המערכת ובטיפול לא נכון יכולים מאוד להטעות. תורת ההפרעות (Perturbation Theory) עוסקת באופן שיטתי בסיווג ההשפעה של קירובים ובטכניקות לקירוב פתרונות ונלמדת כאחד מקורסי הבסיס בתואר שני במתמטיקה שימושית. אם טסתם לאחרונה אז כנראה שאתם ממש סומכים על התורה הזו.

 כאן זה המקום שלכם להגיב ולשאול