מהלך המגפה

זהו החלק השלישי בבלוג בו אתאר מודלים מתמטיים להתפשטות מגפות ואבחן אותם מול נתונים מהארץ ומהעולם. הפוסטים מסתמכים אחד על השני, לכן אם לא קראתם את הקודמים, מומלץ להתחיל מההתחלה. כאן המקום לסייג – איני אפדימיולוג ואני לא עוסק במתמטיקה אפדימיולוגית. כל פרשנות לנתונים או ציטוט שלהם על אחריות הקוראים בלבד.

בחלקים הקודמים, סקרתי את פיתוח מודל SIR, ואת התנהגות המודל בשלבי ההתפרצות הראשונים. ההשוואה מול נתוני התחלואה במספר ארצות מראה התאמה יפה בין העלייה האקספוננציאלית שחוזה המודל לנתוני ההתפרצות. כך, יחד עם נתוני ההחלמה, ניתן לקבל הערכה לשני הפרמטרים של המודל . כעת אעסוק בניתוח מהלך המגפה כולה.  פוסט זה יתמקד בתיאור המודל, ובפוסט שלאחריו אבחן שוב את המודל מול הנתונים הנאספים.

מהלך המגפה הכולל כפי שמתאר המודל

נסתכל על המשוואה ל \(I(t)\) הרשומה בעזרת מקדם ההדבקה ונבחן אותה במקרה בו \(R_{0}>1\),

$$ I^{\prime}(t)=\beta\left(S(t)-\frac{1}{R_{0}}\right)I(t) $$ בהתחלה \(S(t)\approx1\)ומכיוון ש \(R_{0}>1\) נובע ש \(I^{\prime}(t)>0\). העלייה במספר הנדבקים נמשכת כל עוד \(S(t)-\frac{1}{R_{0}}>0\). תהליך ההידבקות הוא תהליך של מעבר אוכלוסייה מקבוצת המועדים לקבוצת הנשאים. ככל שעולה מספר הנשאים, כך יורד מספר המועדים. בנקודת זמן \(t_{m}\) כלשהי הגודל היחסי של קבוצת המועדים מגיע לסף \(S(t_{m})=\frac{1}{R_{0}}\). זוהי נקודת המפנה בה העלייה במספר הנשאים נעצרת (\(I^{\prime}(t)=0\)) ומגיע לשיא. מרגע זה, מספר הנשאים מתחיל לרדת בהדרגה עד שהוא מגיע לאפס. בשלב זה המגפה מסתיימת, והמערכת מגיעה לשיווי משקל חדש. זהו המהלך הטבעי של המגפה המתוארת ע״י המודל ללא נקיטת צעדים כלשהם להדברתה. מהלך המגפה מומחש בגרפים של משתני המערכת (מבטיח השוואה לנתונים בפוסט הבא).  בפרט, הגרף של מספר הנשאים הוא מה שמתייחסים אליו לפעמים כאל ה׳עקומה׳.

Conceptual Dynamics of SIR

כעת עולות שאלות רבות – כמה זמן לוקח להגיע לנקודת המפנה ומהו משך כלל מהלך המגפה? מה מספר הנשאים בשיא המגפה? מה ההשפעה של צעדים כאלו ואחרים על מהלך המגפה?

מספר החולים בשיא המגפה

אתחיל משאלת חישוב מספר הנשאים בשיא המגפה – קיבלנו שבשיא המגפה מספר המועדים הוא \(S(t_{m})=\frac{1}{R_{0}}\). כעת אנסה למצוא קשר בין גודל קבוצת המועדים לגודל קבוצת הנשאים. זהירות, קטע מעט טכני לפנייך – אם נחלק את המשוואה עבור \(I(t)\) במשוואה עבור \(S(t)\) נקבל $$ \frac{I^{\prime}(t)}{S^{\prime}(t)}=\frac{\beta S(t)I(t)-I(t)/d}{-\beta S(t)I(t)} $$

נוכל להפריד אגפים ולקבל $$ I^{\prime}(t)=\left(\frac{1}{\beta dS(t)}-1\right)S^{\prime}(t) $$

כעת ע״י אינטגרציה של כל אגף ושימוש בטרמינולוגיה של מקדם ההדבקה נקבל את הקשר הרצוי בין ל \(I(t)\) ל \(S(t)\) $$ I(t)=1-S+\frac{1}{R_{0}}\log S $$

בפרט, בשיא המגפה, אחוז הנשאים באוכלוסייה הוא

$$ I(t_m)=1-S(t_m)+\frac{1}{R_{0}}\log S(t_m)=1-\frac{1}{R_{0}}-{\frac{\log R_{0}}{R_{0}}} $$

זוהי נוסחת מפתח מכיוון שממספר הנשאים בשיא המגפה ניתן להעריך את מספר החולים הקשים שמערכת הבריאות תצטרך להתמודד איתם בבת אחת בעיצומה של המגפה. המטרה של חלק גדול מהצעדים שננקטים לבלימת התפשטות המגפה היא ״לשטח את העקומה״, כלומר להפחית את השיא אל מתחת לסף שמערכת הבריאות יכולה להתמודד איתו.

אקדיש רגע להתייחס לנוסחא המתקבלת. מספר הנשאים בשיא תלוי רק במקדם ההדבקה \(R_{0}\).  המשמעות היא שעל פי המודל הדרך היחידה לשטח את העקומה היא להפחית את מקדם ההדבקה.  זו אחת הסיבות שמקדם ההדבקה תופס כל כך הרבה תשומת לב לאחרונה.  המודל ׳רואה׳ רק את מקדם ההדבקה ואדיש לדרך בה פועלים להפחיתו. לדוגמא, צמצום אינטרקציות בתוך האוכלוסייה או איתור יעיל של נשאים חדשים ובידודם.  מהו ערך המטרה שיאפשר למערכת הבריאות להכיל את המגפה? תלוי במערכת הבריאות.  הגרף הבא מציג את אחוז הנשאים באוכלוסייה כפונקציה של \(R_{0}\)כאשר האזור האפור ממציין את טווח הערכים של מקדמי ההדבקה בארצות שונות כפי שחושבו בפוסט הקודם. בטווח מקדמי ההדבקה שנמדדו בשלבים הראשונים של ההתפרצות, המודל מנבא שבשיא המגפה כ \( 45\%-40\%\) מהאוכלוסייה תהיה חולה.

Graph of I(tm) as a function of R0

מהו המנגנון שבולם את התפרצות המגפה?

ככל שיותר אנשים חולים ומחלימים, אחוז המועדים באוכלוסייה יורד. בהתאם הסיכוי שתתקיים אינטרקציה בין נשא למועד יורדת ומכאן הסיכוי להדבקה. במילים פשוטות, המגפה תיבלם כאשר נשאים יפגשו בעיקר  נשאים אחרים או מחוסנים.  זו תופעה אדיפיומולוגית מוכרת שנקראת חיסוניות העדר ומודל SIR מתאר היטב את המנגנון שלה.

אפשר לשאול גם כמה יחלו עד לשיא המגפה, כלומר לכלול גם את מספר המחלימים. במקרה זה התשובה כבר זמינה, $$ I(t_m)+R(t_m)=1-S(t_m)=1-\frac{1}{R_{0}}$$ בטווח מקדמי ההדבקה שנמדדו מגיעים ל \( 79\%-74\%\) מהאוכלוסייה. זה האחוז הנדרש כדי שחיסוניות העדר תבטיח דיכוי טבעי של המגפה. באפידימיולוגיה המספר הזה נקרא סף חיסוניות העדר. ייתכן שזה המקור להערכות ש \( 70\%\) מהאוכולוסייה יחלו בקורונה, אם כי המספרים האלו מתייחסים רק לאחוז האוכלוסייה שנדבק עד להגעה לשיא המגפה ולא לשלב בו המגפה דועכת בהדרגה.  בטווח הפרמטרים הנ״ל, בתקופה הדעיכה ההדרגתית של המגפה עוד כרבע מהאוכלוסייה תחלה עד שפתרון המודל יתכנס לשיווי המשקל בו רק \( 2\%-1\%\) נשארים מועדים.

אחת המסקנות העיקריות מניתוח המודל עד כה היא שהדרך היחידה להבטיח את בלימת ההתפשטות של הנגיף לטווח ארוך היא לעבור את סף חיסוניות העדר.  אפשר לשאול האם יהיה אפקטיבי להוריד את סף חיסוניות העדר ע״י הורדת מקדם ההדבקה ארוך הטווח. לדוגמא ע״י הטמעת נורמות התנהגות  חדשות באוכלוסייה.  זו למעשה שאלה שעוסקת ברגישות המערכת לשינויים – האם מספיק, לדוגמא, ש \( 80\%\) מהאוכלוסייה יקפידו על נורמות התנהגות המותאמות לעידן ה(פוסט-)קורונה כדי להפחית את סף חיסוניות העדר? אחד הפוסטים הבאים יעסוק בצעדי מנע קצרי טווח וארוכי טווח.

בחלק הבא אתייחס גם למימד הזמן בבעיה, אערוך השוואה מול נתונים ואבחן מולן את תחזיות המודל לרבות בזמן הדעיכה שלו.

הערת שוליים: ייתכן שעולה תחושה שכל פעם נשלף שפן מהכובע – פעם אחת התשובה מגיעה מבחינת סימן הנגזרת של אחד המשתנים, פעם אחרת מחלוקת המשוואות זו בזו, וכן הלאה.  למעשה, אני עובד באופן שיטתי עם טכניקות מתורת המערכות הדינמיות (Dynamical systems).  תורה זו מאפשרת ניתוח יעיל להפליא של משוואות שמגדירות קשר בין המשתנים והנגזרות שלהם ללא תלות בזמן.  

כאן זה המקום שלכם להעיר ולשאול