בחינת נתונים עדכניים והאם סגר הוא הפתרון?

בחינת נתונים עדכניים והאם סגר הוא הפתרון?

זהו הפוסט הרביעי בבלוג בו אתאר מודלים מתמטיים להתפשטות מגפות, ואבחן אותם מול נתונים מהארץ ומהעולם. הפוסטים מסתמכים אחד על השני, לכן אם לא קראתם את הקודמים, מומלץ להתחיל מההתחלה. כאן המקום לסייג – איני אפדימיולוג ואני לא עוסק במתמטיקה אפדימיולוגית. כל פרשנות לנתונים או ציטוט שלהם על אחריות הקוראים בלבד.

בחלקים הקודמים, סקרתי את פיתוח מודל SIR, ואת התנהגות המודל. הצגתי השוואה מול נתוני התחלואה במספר ארצות בתחילת ההתפרצות. ראינו שהעלייה האקספוננציאלית, שחוזה המודל, מתאימה לנתוני ההתפרצות ומאפשרת לחלץ פרמטרים מהמודל. כעת אעסוק בהשוואת נתוני התחלואה העדכניים, ואתייחס למהלך המגפה בראי הנתונים.

נתונים עדכניים ומה הם משקפים?

הגרפים הבאים מציגים את מספר החולים המאומתים במספר ארצות עדכניים לתאריך 5.4, כפי שנלקחו מהאתר worldometer.com.

Data from several countries and SIR fits

ניתן להבחין בסטייה מהאקספוננט (עקומה אדומה) בכל הארצות בשלב כלשהו של ההתפרצות. יש מספר סיבות אפשריות לסטייה כזו:

  • אפשרות אחת היא שהשתנו התנאים באופן שצריך להשתקף בפרמטרים של המודל. במקרה כזה, היות והמודל מניח פרמטרים קפואים בזמן, נוצרת סטייה בין תחזית המודל לבין הנתונים. אכן, בכל המקרים הסטייה מתרחשת זמן מה לאחר שננקטו צעדים ראשונים למיגור המגפה. איני מתיימר לכמת את משמעות הצעדים שננקטו בארצות השונות באופן שיאפשר השוואה בין תחזיות המודלים. בישראל הסטייה מהאקספוננט מתרחשת שבועיים לאחר סגירת בתי הספר ובהחלט יכולה להעיד על הורדת מקדם ההדבקה בעקבות צעד זה ואחרים.
  • אפשרות שנייה היא שמספר החולים המאומתים אינו משקף נכונה את מספר החולים. זהו חשש סביר מכיוון שכדי לעקוב אחר העלייה האקספוננציאלית נדרשת גם עלייה אקספוננציאלית במספר הבדיקות. הסטייה מהאקספוננט החלה בישראל ב 26.3 (היום ה 24 בגרפים, כאשר יום האפס נקבע באופן שרירותי). באותו יום דיווח משרד הבריאות שבוצעו 5,300 בדיקות מתוכן \(13\%\) היו חיוביות. הטבלה הבאה מפרטת את מספר הבדיקות שנדרשו כדי לעקוב אחר האקספוננט הראשוני בהנחה מקלה ש \(15\%\) מהבדיקות חיוביות.  לשם הבהרה, זו הדינמיקה הצפויה ללא נקיטת צעדי  מנע כלשהם, ולכן השורה הזו מייצגת תרחיש מחמיר.
    השורה השנייה מייצגת תרחיש מקל שיידון בהמשך.
תאריך 26.3 28.3 30.3 1.4 3.4 5.4
מספר בדיקות ליום הנדרש כדי לעקוב אחר האקספוננט הראשוני 6,965 10,896 17,046 26,667 41,719 65,266
מספר בדיקות ליום הנדרש כדי לעקוב אחר אקספוננט עם \(\beta=0.19\) 3,022 3,860 4,930 6,298 8,045 10,276
מספר בדיקות בפועל 6,277 5,069 5,680 8,338 7,166 7,078

 

האם מספר הבדיקות אכן גדל בהתאם והאם ההנחה ש \(15\%\) מהבדיקות חיוביות מקלה או מחמירה בראי הנתונים?

משרד הבריאות פרסם רק ב 7.4  את נתוני הבדיקות אחרי הפסקה ארוכה מה 26.3.  הטבלה מפרטת את מספר הבדיקות שנעשו בפועל, לא כולל בדיקות חוזרות לאותו אדם.  ההנחה אכן מקלה – כ \(12\%\) מהבדיקות חזרו חיוביות, ולא – כמות הבדיקות לא גדלה באופן שיאפשר מעקב אחר האקספוננט הראשוני.

  • אפשרות נוספת היא שחסר רכיב במודל, כלומר קיים מנגנון נוסף לבלימת המגפה אשר המודל לא מתאר. זה יכול לנבוע, לדוגמא, מפרטים ידועים שהושמטו מהמודל כמו תקופת דגירה או עזיבת תיירים, ויכול לנבוע מקשרים שלא זוהו עדיין.

איזו מהסיבות הנ״ל הובילה לסטייה של תחזית המודל מהאקספוננט?
סביר שכל התשובות נכונות במידה מסוימת. זה אחד האתגרים בניתוח מודל ובשימוש בו להבנת המציאות.

אנסה, בכל זאת, להתמודד עם השאלה. כצעד ראשון בזיהוי המקור לסטייה, אבדוק האם ניתן להסביר את הסטייה מהאקספוננט ע״י שינוי בפרמטרים של המודל בנקודת זמן כלשהי. נזכור שמעריך האקספוננט בשלבי ההתפרצות הראשונים שווה ל \(\beta-1/d\) כאשר \(\beta\) הוא מספר האנשים הממוצע שנשא מדביק ביום ו \(d\) הוא מספר הימים הממוצע בו הוא מדבק (ימים עד להחלמה).

מספר הימים הממוצע עד להחלמה (\(d\)) יכול להשתנות במקרה של פיתוח טיפול יעיל יותר למחלה או איתור יעיל של נדבקים ובידודם כך שהזמן הממוצע בו הם מדבקים יורד. מספר האנשים הממוצע שנשא מדביק ביום (\(\beta\)) יכול להשתנות כתוצאה מצעדים של בידוד חברתי, או אימוץ נורמות התנהגות כמו חבישת מסכה או שמירת מרחק. בהתחשב באופי המחלה הכולל, למיטב ידיעתי, אחוז משמעותי של חולים א-סימפטומטים שמחלימים מבלי שאותרו ונכנסו לבידוד, אניח כי הסטייה באקספוננט נובעת בעיקר מהצעדים שהתמקדו בבידוד חברתי ואימוץ נורמות חברתיות ואבחן את ההשפעה של שינוי \(\beta\).

נתמקד, לדוגמא, בגרמניה. ניתן לראות שיש סטייה מהאקספוננט ביום ה 24. הנתונים לאחר יום זה עדיין גדלים באופן אקספוננציאלי אך עם מעריך קטן יותר שמתאים ל \(\beta=0.19\). לאחר מספר ימים, שוב יש סטייה מהאקספוננט (קו-נקודה כחול) אך שוב הנתונים גדלים בקצב אקספוננציאלי עם מעריך שמתאים ל \(\beta=0.12\). סה"כ נתוני גרמניה מתאימים היטב לפתרון של SIR בו הפרמטר \(\beta\) משתנה בשתי נק' הזמן הנ"ל. באותו אופן, ע"י שינוי מתאים בערכי \(\beta\) ניתן לקבל התאמה לנתוני יתר הארצות, ראו עקומות בגרפים מעלה.

Focus on Germany

נתמקד כעת בישראל. אמנם ניתן לקבל התאמה סבירה לנתונים כאשר לאחר ה 26.3 הערך של הפרמטר \(\beta\) משתנה ל \(\beta=0.19\), בדיוק כמו בגרמניה, ראו עקומה כחולה בגרף המתמקד בישראל.  ניתן לחזור כעת לטבלת מספרי הבדיקות ולראות אם מספר הבדיקות גדול יותר מהמספר הנדרש לעקוב אחרי אקספוננט עם מעריך המתאים ל \(\beta=0.19\).  התוצאה גבולית.  ניתן, למעשה, לקבל התאמה טובה יותר לקצב גידול ליניארי לאחר ה 26.3 עם שיפוע שמתאים ל 530 חולים מאומתים חדשים בממוצע ביום, ראו עקומה אדומה מקווקוות. היות והמודל לא מתאר גידול ליניארי, ניתן להסביר התאמה כזו בכך שמספר החולים המאומתים נקבע ע"י מספר הבדיקות המבוצע ביום ומהווה רק חסם תחתון למספר החולים האמיתי.

Focus on Israel

האם סגר הוא הפתרון?

ניתוח הנתונים בארצות השונות מראה שעם נקיטת צעדי בידוד חברתי כאלו ואחרים, מספר האנשים שנשא ממוצע מדביק ביום פוחת באופן משמעותי ובהתאם גם קצב הגידול באוכלוסיית הנשאים. הדיון עד כה התמקד בשלב ההתפרצות ההתחלתי בו מספרי החולים מהווה שבריר מהאוכלוסייה הכוללת. נבחן עכשיו את השפעת צעדי הבידוד והסגר, כלומר את השפעת שינוי \(\beta\) על מהלך המגפה כולה. תרחיש הייחוס הוא אפס התערבות, במצב כזה מגיעים לאחר כחודשיים לכ 4 מליון חולים, רובם קלים אך המיעוט שיזדקק לאשפוז יעלה בהרבה על סף הקיבולת של מערכת הבריאות. בתרחיש כזה מהלך המגפה כולה ייארך 4 חודשים עד למיגורה \(98\%\) מהאוכלוסייה.

נתחיל במקרה בו מיישמים מדיניות בידוד מחמירה לתקופה מוגבלת ולאחריה חוזרים לשגרה. נבחן את ההשפעה של סגר מוחלט למשך חודשיים שממודל ע״י הפחתת הפרמטר \(\beta\) ל \(\beta=0\) בזמן הסגר וסגר חלקי בו \(\beta=0.1\) בזמן הסגר.  בשני המקרים, במהלך החודשיים של הסגר (יום 24-83) , אכן מספר החולים קטן מאוד. עם זאת, עם הסרת הסגר, אחוז המחוסנים באוכלוסייה זניח והמערכת נמצאת קרוב לאותו שיווי משקל לא יציב ממנו היא התחילה.  בהתאם המגפה מתפרצת שוב (ראו עקומה אדומה) עם מאפיינים כמעט זהים למהלך המגפה בתרחיש הייחוס. המספר הכולל של החולים לאורך מהלך המגפה נשאר כמעט ללא שינוי.  הסגר החלקי מיטיב מעט את המצב בהיבט של מספר החולים בשיא ומספר החולים הכולל.  זה נובע מכך שמצטברים מחלימים בעלי נוגדנים שיכולים לתרום לחיסוניות העדר, אך השיפור מזערי.  בראייה כוללת, השפעת סגר, אפילו מוחלט, היא פשוט דחייה של מהלך המגפה.

נבחן כעת תרחיש אחר בו הפרמטר \(\beta\) קטן לאורך תקופה ארוכה, אך לא בשיעור חד כמו בסגר חלקי.  נקיטת צעדים שמפחיתים לאורך זמן מ \(\beta=0.3\) ל \(\beta=0.19\) מביאים לשיא של כ \(2.6\) מליון חולים לאחר כשלושה חודשים וחצי מההתפרצות ההתחלתית. עד למיגור המגפה \(91\%\) מהאוכלוסייה תחלה. זו ירידה במספר החולים הכולל שיחלה.  מכך נגזרת גם ירידה בסך מקרי המוות כתוצאה מהמגפה. עם כל זאת, מספר החולים בשיא גבוה ונגזרים ממנו צורכי אשפוז שהם עדיין הרבה מעבר לסף הקיבולת של מערכת הבריאות. הקטנת \(\beta\) לאורך זמן במקביל לשחרור המשק היא אתגר, שיחייב אימוץ נורמות התנהגות חדשות ע"י האוכלוסייה הרחבה.

השפעה של שינוי בטא

איך אפשר לרתום את מנגנון חיסוניות העדר?

הדוגמאות האלו ממחישות שהשפעת צעדי סגר אגרסיביים על מהלך המגפה הכולל הוא זניח, ובראייה חברתית-כלכלית סביר שיגרמו ליותר נזק מתועלת.  הדרך היחידה לרתום את מנגנון חיסוניות העדר למיגור המגפה היא לאפשר התפשטות מבוקרת של המגפה בהתאם ליכולות מערכת הבריאות.  ברוח תובנות אלו, נבחנות הצעות למדיניות אשר מתבססות על בידוד סלקטיבי בהתאם לסבירות שאדם יזדקק לאשפוז או טיפול נמרץ בעקבות הידבקות.

בפוסט הבא, אציג הרחבות של מודל SIR שמאפשרות לבחון השפעה של בידוד סלקטיבי ואשתמש בהן כדי לענות על מספר שאלות, כגון: עד כמה מהלך כזה יכול להיות אפקטיבי? כיצד ליישם באופן אופטימלי מדיניות של בידוד סלקטיבי? עד כמה מדיניות כזו תלויה באחוז ציות להנחיות – מה קורה אם רק \(70\%\) או אפילו \(95\%\) מהאוכלוסייה מקפידה על ההנחיות?

כאן זה המקום עבורכם להעיר ולשאול