מה ההשפעה של אי-ציות? מה ההשפעה של בידוד סלקטיבי?

מה ההשפעה של אי-ציות ושל בידוד סלקטיבי? 

זהו הפוסט החמישי בבלוג בו אתאר מודלים מתמטיים להתפשטות מגפות, ואבחן אותם מול נתונים מהארץ ומהעולם. הפוסטים מסתמכים אחד על השני, לכן אם לא קראתם את הקודמים, מומלץ להתחיל מההתחלה. כאן המקום לסייג – איני אפדימיולוג ואני לא עוסק כמומחה במתמטיקה אפדימיולוגית. כל פרשנות לנתונים או ציטוט שלהם על אחריות הקוראים בלבד.

הקדמה (ארוכה מהרגיל)

בחלקים הקודמים, סקרתי את פיתוח מודל SIR, ואת התנהגות המודל. הצגתי השוואה בין תחזיות המודל לבין הנתונים, ודנתי בסיבות לסטייה ביניהם. בשלב זה, אני רוצה להתמקד בהרחבות של המודל שעימן אפשר לשפוך אור על שאלות כמו –

  • מה קורה כאשר הציות להנחיות הוא חלקי? האם אי-ציות, נניח  של \(20\%\) מהאוכלוסייה, יוריד לטמיון את תוצאות מאמצי שאר האוכלוסייה לשמור על ההנחיות או שיתבטא רק בפגיעה קטנה?

אפשר גם לתהות מה קורה בכיוון ההפוך –

  • מה קורה כאשר אוכלוסייה שנמצאת בסיכון גבוה להיפגע מהנגיף מקפידה באופן עקבי לשמור על בידוד חברתי? האם כל תמונת התחלואה תשתנה או שההשפעה על כלל האוכלוסייה תהיה קטנה יחסית?

אלו שאלות מאוד אקטואליות. יש עיסוק נרחב באסטרטגיות יציאה מהמשבר. גישה אחת מצדדת בהמשך צעדי בידוד חברתי לאורך זמן כדי לשמור את המגפה על אש קטנה תוך הפעלת אמצעי ניטור, שיאפשרו איתור ובידוד מהיר של חולים. נראה שגישה  זו עובדת טוב בדרום קוריאה ובמידה מסוימת גם בטיוואן, אבל בהקשר הישראלי עולה ביתר שאת שאלת ההשפעה של אי-ציות חלקי על תוצאות המדיניות. גישה אחרת מצדדת בשמירה על אוכלוסיות הנמצאות בסיכון גבוה תוך שחרור מלא של אוכלוסיות בסיכון נמוך. ניתן לראות איך השאלה השנייה צצה בהקשר הזה.

לפני שאתקדם – אני רוצה להעיר שקיבלתי פידבקים לא מעטים על הפוסטים הקודמים ובפרט על ההשוואה בין המודל לנתונים. אני שמח על הדיון ומודה למי שהשתתף בו. לא יכולתי וזה לא היה נכון להימנע מעיסוק בנתונים והתאמה של המודל לנתונים. הנתונים חלקיים, סובלים מהטיות ולא קשורים ישירות לפרמטרים של המודל, לכן זה נושא מעניין, מורכב ואקטואלי שראוי לבמה משלו, אך זה לא נושא שנמצא במוקד העניין שלי ואקדיש לו פחות תשומת לב בהמשך. למי שמעוניין בנושא – אני ממליץ בחום על בלוג הקורונה של מפא"ת.

מודל SIR עם קבוצות

השאלות שעלו בהקדמה עוסקות בהשפעה הדדית בין שתי קבוצות באוכלוסייה – פעם ראשונה קבוצה של צייתנים מול קבוצה שאינה מקפידה על הנחיות, ופעם שנייה קבוצה של אוכלוסייה בסיכון גבוה מול קבוצה בסיכון נמוך. במקרה הכללי, הקבוצות אינן מבודדות – אנשים יכולים להידבק מנשא מקבוצה אחרת, כמו גם להנות מחסינות עדר שהושגה באמצעות הדבקה מסיבית בקבוצה השנייה.

לפני שנמשיך, בואו נעשה סדר בטרמינולוגיה המתהווה – אחלק את האוכלוסייה גם לקבוצות (groups) וגם למחלקות (compartments) כאשר מחלקה מתייחסת למצבים השונים – מועד, נשא, מחוסן.

נסמן ב \(S_{1},I_{1},R_{1}\) את הגודל היחסי של מחלקות המועדים/נשאים/מחוסנים של קבוצה 1 וב \(S_{2},I_{2},R_{2}\) את הגודל היחסי של מחלקות המועדים/נשאים/מחוסנים של קבוצה 2. אסמן ב  \(\beta_{ij}\) את מספר האנשים הממוצע מקבוצה \(i\) שנשא מקבוצה \(j\) מדביק ביום. קצב ההדבקה שווה למספר המועדים הממוצע שנשא מקבוצה 1 מדביק ביום ועוד מספר המועדים הממוצע שנשא מקבוצה 2 מדביק ביום. המשוואה המתקבלת היא \[ S_{i}^{\prime}(t)=-\left[\beta_{i1}I_{1}(t)+\beta_{i2}I_{2}(t)\right]S_{i}(t),\qquad i=1,2, \]

(זה מאוד דומה לפיתוח המודל הבסיסי, לאלו שנעים בחוסר נוחות עכשיו אני ממליץ לחזור לפוסט הראשון שמתאר את פיתוח המודל הבסיסי)

בדומה למודל הבסיסי, קצב ההחלמה הוא \[ R_{i}^{\prime}(t)=\frac{1}{d_{i}}I_{i}(t),\qquad i=1,2, \]

ע"י סכימת המשוואות ניתן לקבל את המשוואה לשינוי במספר הנשאים בכל אחת מהקבוצות \[ I_{i}^{\prime}(t)=\left[\beta_{i1}I_{1}(t)+\beta_{i2}I_{2}(t)\right]S_{i}(t)-\frac{1}{d_{i}}I_{i}(t),\qquad i=1,2, \]

קיבלנו סה"כ 6 משוואות לשישה נעלמים, כאשר הגודל היחסי של הקבוצות באוכלוסייה אינו משתנה ולכן נקבע ע"י המצב ההתחלתי.

הצצה ראשונה לתוצאות

בואו נפתור את המשוואות באופן נומרי במחשב בתרחישים שונים ונקבל תשובות ראשונות לשאלות.

אתחיל משאלת הציות: קבוצה 1 תהיה קבוצת הצייתנים, היא נשמעת להנחיות ולכן נדבקת פחות ומדביקה פחות.  הקבוצה השנייה תהיה קבוצת המזלזלים שלא נשמעת באותה קפדנות להנחיות ובהתאם בעלת סיכוי גבוה יותר להידבק ולהדביק. בהתאם נבחר, \(\beta_{11}=0.1\) ו \(\beta_{22}=0.3\), כלומר הסיכוי להידבקות במפגש בין נשא ומועד צייתנים (\(\beta_{11}\)) קטן פי שלושה מסיכויי הידבקות במפגש בין נשא ומועד מזלזלים (\(\beta_{22}\)). מה קורה במפגש בין נשא מזלזל ומועד צייתן? נבחר ערך ביניים \(\beta_{12}=0.2\) וכנ"ל לגבי מפגש בין נשא צייתן ומועד מזלזל – כלומר \(\beta_{21}=0.2\). חשוב לי להדגיש שאין נסיון להתאים את הערכים לנתונים, המטרה היא לענות על שאלת הציות, לאו דווקא עבור ערכי פרמטרים ספציפיים. אני מתחיל מבחירת הערכים כי זה נדרש להרצה במחשב, אבל אם הייתי מתחיל מאנליזה הייתי מדלג על רמת הפירוט בשלב הזה. הגרף הבא מציג את הגודל היחסי מכלל האוכלוסייה של מחלקת הנדבקים \(I=I_{1}+I_{2}\) במקרה של אי-ציות חלקי של \(5\%,20\%\) מול תרחיש של ציות מלא, כלומר כאשר קבוצה 2 היא בגודל יחסי של \(0,0.05,0.2\), בהתאמה.

Simulation of model with two groupsניתן לראות שמספר הנדבקים בשיא קופץ ב \(66\%\) במקרה של אי-ציות חלקי של \(5\%\) מהאוכלוסייה ופי ארבעה במקרה של \(20\%\) אי-ציות! מבחינה פרקטית, זה יכול להיות ההבדל בין הימצאות מתחת לסף הקיבולת של מערכת הבריאות או קריסה שלה. כמובן, שזו רק סימולציה אחת. נדרש כעת ניתוח של המודל שיאפשר להעריך בצורה טובה יותר את השפעת אי-הציות.

מה לגבי מדיניות של בידוד האוכלוסייה בסיכון גבוה במקביל להסרת מגבלות משאר האוכלוסייה באופן שיאפשר את פתיחת מערכת החינוך והמשק באופן מיידי? כעת קבוצה 1 תהיה האוכלוסייה הכללית וקבוצה 2 תהיה האוכלוסייה בסיכון. נניח שחמישית מהאוכלוסייה בסיכון. נבחר \(\beta_{11}=0.3\) ולעומתו \(\beta_{22}=0.01\) שמשקף בידוד קפדני בין כל זוג אנשים באוכלוסיית הסיכון. נבחר פרמטרים שישקפו סיכויי הדבקה מסוימים בשל מגע בין האוכלוסיות, \(\beta_{12}=\beta_{21}=0.05\). הגרף הבא מציג את הגודל היחסי של הנדבקים מקבוצת הסיכון בתרחיש שבו הם נמצאים בבידוד שלושה חודשים או ארבעה חודשים ולעומתו תרחיש ייחוס בו אין בידוד כלל.

Simulation of high risk/low risk gr

בתרחיש הייחוס בו אין הגבלות על האוכלוסייה, מספר הנדבקים בקבוצת הסיכון (עקומה כחולה) מגיע לשיא לאחר כחודשיים כאשר מספר הנדבקים מאוכלוסיית הסיכון קרוב ל 40%.  בשני תרחישי הבידוד הסלקטיבי (עקומות אדומות וכתומות), בהם אין הגבלות על האוכלוסייה הכללית אך האוכלוסייה בסיכון נמצאת בתנאי בידוד, ניתן לראות שמספר הנדבקים ועימו העומס על מערכת הבריאות בשיא ירד פי 4 ביחס לתרחיש הייחוס.  ניתן עוד לראות שבתנאי בידוד בתקופה הראשונה מספר הנדבקים מקבוצת הסיכון הגבוה עולה ומגיע לשיא לאחר כחודשיים וחצי (עקומות אדומות וכתומות). התפשטות המגפה בזמן הזה נובעת בעיקר מזליגה של הדבקות מהאוכלוסייה הכללית. כאשר הבידוד מוסר לאחר שלושה חודשים (עקומה אדומה), יש שוב התפרצות של המגפה באוכלוסיית הסיכון והיא מגיעה לשיא נוסף. דעיכת המגפה לאחר השיא הנוסף מתרחשת בתקופה בה מוסרות המגבלות על כלל האוכלוסייה.  הסיבה לדעיכה המהירה היא בזכות חיסוניות העדר שנוצרה הודות להדבקה חופשית באוכלוסייה בסיכון נמוך במשך כל התקופה. ניתן לראות שהארכת משך הבידוד בחודש נוסף עד להתבססות חיסוניות העדר באוכלוסייה הכללית מונעת את גל ההתלקחות השני (עקומה כתומה).

איך מתקדמים מכאן?

הפוסטים הראשונים צעדו בדרך סלולה וסרקו תוצאות קלאסיות בתחום, כאלו המתוארות בכל ספר במתמטיקה אפדימיולוגית (הנה קישור ועוד אחד). הפוסט הזה מסתעף (הדרך עדיין סלולה היטב, אם כי לא טרם הקדשתי זמן לסקר ספרות ראוי) ומתייחס להרחבות של המודל.

הדגמתי איך ניתן לשפוך אור על שתי שאלות אפשריות בעזרת מודל של שתי קבוצות ומעלה. יש עוד שאלות רבות שעוסקות בדינמיקה בין קבוצות שונות באוכלוסייה – לדוגמא, מה ההשפעה של סגר (נושם או הדוק) על אזור התפרצות? אין לי ספק שיש לכם שאלות ורעיונות שאני לא חשבתי עליהם ותרצו אולי לברר לבד. בנוסף, לא עסקתי בניתוח המודל עם שתי קבוצות. אני משאיר את ניסוח המודל יחד עם קוד המטלב הרלוונטי זמין באתר זה. אשמח לשיתוף תובנות בפורום.

לבסוף, ההרחבות מאפשרות לכלול התייחסות לנתונים דמוגרפיים ואפידימיולוגיים קונקרטיים.  דבר שיאפשר לשפוך אור על שאלות רלוונטיות לבחינת תרחישי יציאה שונים. זה כיוון שדורש חיבור עם אפידימיולוגים, איסוף נתונים, והנגשת המודל למעצבי המדיניות ואני משקיע בו מאמצים כעת. מבטיח לעדכן.

כאן זה המקום עבורכם להעיר ולשאול