הם הסגר יכול להאיץ את חדירת הווריאנט הבריטי?

האם הסגר יכול להאיץ את חדירת הווריאנט הבריטי?

פרופ׳ ניר גביש, הפקולטה למתמטיקה, טכניון

זהו פוסט נוסף בבלוג העוסק במודלים מתמטיים להתפשטות מגפות. פוסטים קודמים זמינים כאןכאן המקום לסייג – איני אפדימיולוג ואיני מומחה במתמטיקה אפדימיולוגית. כל פרשנות לנתונים או ציטוט שלהם על אחריות הקוראים בלבד.

אני מודה לפרופ׳ חגי כתריאל על בניית האפליקציה שמוטמעת בפוסט, ועל סיוע בהערות ורעיונות בכתיבה.

אנחנו מחפשים סטודנטים.ות מצטיינים.ות להרחבת פרוייקט מידול המגפה ומבצע החיסונים.  פרטים בסוף הפוסט.


התפשטות המגפה מושפעת בשלב זה ממספר גורמים – צעדי סגר והתנהגות הציבור, חדירת הווריאנט הבריטי ומבצע החיסונים.  הגורמים משפיעים אחד על השני בדרכים שהן לא בהכרח טריוויאליות.  בפרט, המציאות והמודלים מראים שסגר הוא צעד אפקטיבי לבלימת התפשטות המגפה כל עוד הוא נמשך (ראו פוסט קודם בנושא), אבל מה קורה כאשר יש תחרות בין שני זני נגיף? טיפול אנטיביוטי שנקטע מוקדם מוביל לעתים לקטילת  החיידקים החלשים באופן שמאפשר לחיידקים אגרסיביים יותר לשגשג.  האם, באופן דומה, ייתכן שהסגר יפגע בזן המוכר ויאיץ את חדירת הווריאנט הבריטי?

נתחיל מתהליך ההתפשטות וההתבססות של הווריאנט הבריטי ללא סגר.  בכל החישובים הבאים נניח שאופי המחלה – תקופת דגירה, זמן להחלמה וכן הלאה – זהה בשני הזנים, אך בווריאנט הבריטי חולה מדביק בממוצע 50% יותר אנשים במשך תקופת המחלה שלו. המשמעות היא שלכל זן יש מקדם הדבקה משלו. עבור הזן המוכר נתייחס למקדם הדבקה של 1.2 ועבור הווריאנט הבריטי 1.8 (50% יותר).  אלו הם מקדמי הדבקה שלוקחים בחשבון הגבלות שונות ושמירה על ריחוק חברתי, פחות או יותר בטווח מקדם ההדבקה הנוכחי (טרם הסגר ההדוק).  אם בזמן אפס יש 1000 נדבקים בזן המוכר ו-10 נדבקים בווריאנט הבריטי אז כל חולה בזן המוכר ידביק 1.2 אנשים ונקבל 1200 נדבקים חדשים בזן המוכר עד לסיום תקופת המחלה שלהם.  במקביל, כל חולה עם הווריאנט הבריטי ידביק 1.8 אנשים באותה תקופה ונקבל 18 נדבקים חדשים.  בשבוע העוקב, 1200 החולים החדשים ידביקו 1444 אנשים בזן המוכר ואותם 18 חולים עם הזן הבריטי ידביקו 32 אנשים.  כך משבוע לשבוע, מספרי הנדבקים יעלו ואחוז הנדבקים עם הווריאנט הבריטי יטפס עד שיהפוך לזן הדומיננטי.

הנוסחא תיראה כמו

\( (*) ֿ\qquad I_1(t)=I_1(0) R0^{t/\tau},\quad I_2(t)=I_2(0) (1.5R0)^{t/\tau}\)

כאשר \( \tau\) הוא פרק הזמן מהידבקות של אדם ועד להדבקת אחרים (סדר גודל של 5 ימים בקורונה).  הטבלה הבאה מסכמת את נתוני התפשטות לאורך מספר תקופות זמן

זמן  0 \( \tau\) \( 2\tau\) \( 6\tau\) \( 10\tau\) \( 15\tau\)
 נדבקים בזן המוכר

\( I_1(t)\)
1000 1200 1444 3000 6200 15,400
 נדבקים בווריאנט הבריטי

\( I_2(t)\)
10 18 32 340 3600 67,500
אחוז נדבקים בווריאנט הבריטי

\( \frac{I_2(t)}{I_1(t)+I_2(t)}\)
0.9% 1.5% 2.2% 10% 36% 81%

מה קורה בזמן סגר? נניח שבסגר מקדם ההדבקה של הזן המוכר יורד ל 0.8.  מקדם ההדבקה של הווריאנט הבריטי גבוה ב 50% ולכן הוא 1.2 בזמן אותו הסגר.  המשמעות היא שמספר הנדבקים בזן המוכר קטן בזמן הסגר, בעוד שמספר הנדבקים בווריאנט הבריטי גדל.  האם במצב כזה הסגר מאיץ את חדירת הווריאנט הבריטי? לא.  מנוסחא (*) רואים שאחוז הנדבקים בווריאנט הבריטי אינו תלוי ב R

\( \frac{I_2(t)}{I_1(t)+I_2(t)}=\frac{1.5^{t/\tau} I_2(0)}{I_1(0)+1.5^{t/\tau} I_2(0)}\)

לכן קצב החדירה אינו מושפע מהשינוי ב R בעקבות הסגר.  הסגר לא יאט את חדירת הווריאנט הבריטי ולא יאיץ אותו.

נוסחא (*) מתארת מצב בו הזן המוכר והווריאנט הבריטי מתפשטים במקביל וללא תחרות ביניהם.  בפועל קיימת תחרות ביניהם על אוכלוסיית המועדים. ההשפעה של תחרות זו קטנה כל עוד יש מספר גדול מאוד של מועדים.  עם זאת, מעניין להבין באופן מלא את שאלת התחרות.  מודל SIR עם שני זנים לוקח בחשבון את התחרות בין הזנים יחד עם הירידה העקבית במספר המועדים בשל ההדבקות.  ניסוח מודל  כזה אינו מורכב מהרבה מניסוח מודל SIR עם זן אחד (ראו פוסט).  בלינק או בחלון הבא ניתנת לכם אפשרות לגשת למודל כזה שנבנה ע״י פרופ׳ חגי כתריאל ולהריץ אותו בעצמכם עם פרמטרים לבחירתכם.

ניתן לראות שגם בתנאים של תחרות בין זנים, קצב חדירת הווריאנט הבריטי אינו מואץ בהשפעת הסגר. להיפך, הוא מואט קלות.  הסימולציות מראות, עם זאת, שסגר קצר וחזק מוביל לגל תחלואה משמעותי לאחר היציאה מהסגר.  זוהי תופעה מוכרת בהתפשטות זן יחיד, והיא מועצמת כאשר היציאה מהסגר מאופיינת בדומיננטיות של הזן האגרסיבי יותר.  ההסבר יפה אך לא מיידי, ואני מפנה את המעוניינים להרצאה מצויינת של ד״ר לידיה פרס-הרי בנושא (לחצו על התמונה ע״מ לראות את ההרצאה).

Screenshot from Lydia's talk

ניתן לבחון השפעות נוספות של סגר בתנאים של חדירת זן נוסף בהיבט של מספר הנדבקים הכולל במגפה (קיימת השפעה לרעה), רגישות לאי-ציות (שאלה פתוחה ברובה) ועוד.  נדון בהם במקום אחר.

הגעת החיסונים הנוספים הן חדשות טובות למניעת התחלואה הקשה/בינונית בגל הצפוי לאחר סיום הסגר ושחרור המשק.  תכנון מיטבי של שלב זה ידרוש שוב הבנה של ההשפעה המשולבת של הגורמים השונים – צעדי סגר והתנהגות הציבור, חדירת הווריאנט הבריטי ומבצע החיסונים.


פיתוח מודל התחלואה והחיסונים הוא פרוייקט משותף עם מכון גרטנר והמרכז הישראלי לבקרת מחלות בתמיכה של קרן המדע הישראלית.  אנחנו מחפשים כעת סטודנטים.ות מצטיינים.ות שמעוניינים.ות להשתלב בפרוייקט.  ניתן לפנות אליי במייל.

זה המקום עבורכם להגיב ולשאול